在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆的左、右焦点,椭圆与抛物线有一个公共的焦点,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点是椭圆在第一象限上的任一点,连接,过点作斜率为的直线,使得与椭圆有且只有一个公共点,设直线的斜率分别为,,试证明为定值,并求出这个定值;(III)在第(Ⅱ)问的条件下,作,设交于点,证明:当点在椭圆上移动时,点在某定直线上.
(本题13分)已知数列其前项和,满足,且。(1)求的值;(2)求数列的通项公式;
(本题12分)某汽车厂有一条价值为万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值万元与技术改造投入万元之间满足:①与成正比;②当时,,并且技术改造投入满足,其中为常数且。(1)求表达式及定义域;(2)求出产品增加值的最大值及相应的值。
(本题12分)已知数列的前项和且是和1的等差中项。(1)求数列与的通项公式;(2)若,求;(3)若是否存在,使?说明理由。
(本题12分)设函数,(1)若,用单调性定义证明上是增函数。(2)若的图象与的图象关于对称,求函数的解析式。
(本题12分)已知命题关于的方程有正根;命题不等式的解集为,或是真命题,且是假命题,求实数的范围。