设平面向量,,函数。(Ⅰ)求函数的值域和函数的单调递增区间; (Ⅱ)当,且时,求的值.
如图,圆与直线相切于点,与正半轴交于点,与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点,且满足,动点的轨迹记为曲线.(1)求圆的方程及曲线的方程;(2)若两条直线和分别交曲线于点、和、,求四边形面积的最大值,并求此时的的值.(3)证明:曲线为椭圆,并求椭圆的焦点坐标.
已知数列中,,对任意的,、、成等比数列,公比为;、、成等差数列,公差为,且.(1)写出数列的前四项;(2)设,求数列的通项公式;(3)求数列的前项和.
为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成本(万元)与处理量(吨)之间的函数关系可近似的表示为:,且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品,同时获得国家补贴万元.(1)当时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润;如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损?(2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?
如图,几何体中,为边长为的正方形,为直角梯形,,,,,.(1)求异面直线和所成角的大小;(2)求几何体的体积.
在△中,角、、所对的边长分别为、、,且. (1)若,,求的值;(2)若,求的取值范围.