已知:如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.
已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4 x - 2 m + 5 = 0 有两个不相等的实数根.
(1)求实数 m 的取值范围;
(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数 m 的值.
为庆祝中国共产党成立100周年,某校举行党史知识竞赛活动,赛后随机抽取了部分学生的成绩,按得分划分为 A 、 B 、 C 、 D 四个等级,并绘制了如下不完整的统计表和统计图.
等级
成绩 ( x )
人数
A
90 ⩽ x ⩽ 100
15
B
80 ⩽ x < 90
a
C
70 ⩽ x < 80
18
D
x < 70
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根据图表信息,回答下列问题:
(1)表中 a = ;扇形统计图中, C 等级所占的百分比是 ; D 等级对应的扇形圆心角为 度;若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动,请估计成绩为 A 等级的学生共有 人;
(2)若95分以上的学生有4人,其中甲、乙两人来自同一班级,学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛,请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率.
如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c 交 x 轴于 A ( - 1 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C ( 0 , - 3 ) ,点 Q 为线段 BC 上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求 | QO | + | QA | 的最小值;
(3)过点 Q 作 PQ / / AC 交抛物线的第四象限部分于点 P ,连接 PA , PB ,记 ΔPAQ 与 ΔPBQ 面积分别为 S 1 , S 2 ,设 S = S 1 + S 2 ,求点 P 坐标,使得 S 最大,并求此最大值.
某公司电商平台,在2021年五一长假期间,举行了商品打折促销活动,经市场调查发现,某种商品的周销售量 y (件 ) 是关于售价 x (元 / 件)的一次函数,如表仅列出了该商品的售价 x ,周销售量 y ,周销售利润 W (元 ) 的三组对应值数据.
x
40
70
90
y
180
30
W
3600
4500
2100
(1)求 y 关于 x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)若该商品进价 a (元 / 件),售价 x 为多少时,周销售利润 W 最大?并求出此时的最大利润;
(3)因疫情期间,该商品进价提高了 m (元 / 件) ( m > 0 ) ,公司为回馈消费者,规定该商品售价 x 不得超过55(元 / 件),且该商品在今后的销售中,周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系,若周销售最大利润是4050元,求 m 的值.
如图,在 ΔABC 中, ∠ BAC = 90 ° ,点 E 在 BC 边上,过 A , C , E 三点的 ⊙ O 交 AB 边于另一点 F ,且 F 是 AE ̂ 的中点, AD 是 ⊙ O 的一条直径,连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点.
(1)求证:四边形 CDMF 为平行四边形;
(2)当 CD = 2 5 AB 时,求 sin ∠ ACF 的值.