已知:如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.
已知直线 y = x + 3 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A 、 B 两点,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过 A 、 B 两点,点 M 在线段 OA 上,从 O 点出发,向点 A 以每秒1个单位的速度匀速运动;同时点 N 在线段 AB 上,从点 A 出发,向点 B 以每秒 2 个单位的速度匀速运动,连接 MN ,设运动时间为 t 秒
(1)求抛物线解析式;
(2)当 t 为何值时, ΔAMN 为直角三角形;
(3)过 N 作 NH / / y 轴交抛物线于 H ,连接 MH ,是否存在点 H 使 MH / / AB ,若存在,求出点 H 的坐标,若不存在,请说明理由.
结合西昌市创建文明城市要求,某小区业主委员会决定把一块长 80 m ,宽 60 m 的矩形空地建成花园小广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的直角三角形),空白区域为活动区,且四周出口宽度一样,其宽度不小于 36 m ,不大于 44 m ,预计活动区造价60元 / m 2 ,绿化区造价50元 / m 2 ,设绿化区域较长直角边为 xm .
(1)用含 x 的代数式表示出口的宽度;
(2)求工程总造价 y 与 x 的函数关系式,并直接写出 x 的取值范围;
(3)如果业主委员会投资28.4万元,能否完成全部工程?若能,请写出 x 为整数的所有工程方案;若不能,请说明理由.
(4)业主委员会决定在(3)设计的方案中,按最省钱的一种方案,先对四个绿化区域进行绿化,在实际施工中,每天比原计划多绿化 11 m 2 ,结果提前4天完成四个区域的绿化任务,问原计划每天绿化多少 m 2 .
阅读材料:基本不等式 ab ⩽ a + b 2 ( a > 0 , b > 0 ) ,当且仅当 a = b 时,等号成立.其中我们把 a + b 2 叫做正数 a 、 b 的算术平均数, ab 叫做正数 a 、 b 的几何平均数,它是解决最大(小 ) 值问题的有力工具.
例如:在 x > 0 的条件下,当 x 为何值时, x + 1 x 有最小值,最小值是多少?
解: ∵ x > 0 , 1 x > 0 ∴ x + 1 x 2 ⩾ x ⋅ 1 x 即是 x + 1 x ⩾ 2 x ⋅ 1 x
∴ x + 1 x ⩾ 2
当且仅当 x = 1 x 即 x = 1 时, x + 1 x 有最小值,最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
(1)若 x > 0 ,函数 y = 2 x + 1 x ,当 x 为何值时,函数有最值,并求出其最值.
(2)当 x > 0 时,式子 x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 ⩾ 2 成立吗?请说明理由.
已知: ΔABC 内接于 ⊙ O , AB 是 ⊙ O 的直径,作 EG ⊥ AB 于 H ,交 BC 于 F ,延长 GE 交直线 MC 于 D ,且 ∠ MCA = ∠ B ,求证:
(1) MC 是 ⊙ O 的切线;
(2) ΔDCF 是等腰三角形.
▱ ABCO 在平面直角坐标系中的位置如图所示,直线 y 1 = kx + b 与双曲线 y 2 = m x ( m > 0 ) 在第一象限的图象相交于 A 、 E 两点,且 A ( 3 , 4 ) , E 是 BC 的中点.
(1)连接 OE ,若 ΔABE 的面积为 S 1 , ΔOCE 的面积为 S 2 ,则 S 1 = S 2 (直接填“ > ”“ < ”或“ = ” ) ;
(2)求 y 1 和 y 2 的解析式;
(3)请直接写出当 x 取何值时 y 1 > y 2 .