如图,小明同学在东西方向的环海路A处,测得海中灯塔P在北偏东60°方向上,在A处正东500米的B处,测得海中灯塔P在北偏东30°方向上,则灯塔P到环海路的距离PC等于多少米?
如图,网格中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,点 A , B , C 的坐标分别为 A ( − 2 , 3 ) , B ( − 5 , 1 ) , C ( − 3 , 1 ) .先将 ΔABC 沿一个确定方向平移,得到△ A 1 B 1 C 1 ,点 B 的对应点 B 1 的坐标是 ( 1 , 2 ) ;再将△ A 1 B 1 C 1 绕原点 O 顺时针旋转 90 ° ,得到△ A 2 B 2 C 2 ,点 A 1 的对应点为 A 2 .
(1)画出△ A 1 B 1 C 1 ,并直接写出点 A 1 的坐标;
(2)画出△ A 2 B 2 C 2 ,并直接写出 cos B 的值.
如图, 点 A , B , C 都在抛物线 y = a x 2 − 2 amx + a m 2 + 2 m − 5 (其 中 − 1 4 < a < 0 ) 上, AB / / x 轴, ∠ ABC = 135 ° ,且 AB = 4 .
(1) 填空: 抛物线的顶点坐标为 (用 含 m 的代数式表示) ;
(2) 求 ΔABC 的面积 (用 含 a 的代数式表示) ;
(3) 若 ΔABC 的面积为 2 ,当 2 m − 5 ⩽ x ⩽ 2 m − 2 时, y 的最大值为 2 ,求 m 的值 .
阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1, ΔABC 中, ∠ ACB = 90 ° ,点 D 在 AB 上,且 ∠ BAC = 2 ∠ DCB ,求证: AC = AD .
小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法:
方法1:如图2,作 AE 平分 ∠ CAB ,与 CD 相交于点 E .
方法2:如图3,作 ∠ DCF = ∠ DCB ,与 AB 相交于点 F .
(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明 AC = AD .
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
(2)如图4, ΔABC 中,点 D 在 AB 上,点 E 在 BC 上,且 ∠ BDE = 2 ∠ ABC ,点 F 在 BD 上,且 ∠ AFE = ∠ BAC ,延长 DC 、 FE ,相交于点 G ,且 ∠ DGF = ∠ BDE .
①在图中找出与 ∠ DEF 相等的角,并加以证明;
②若 AB = kDF ,猜想线段 DE 与 DB 的数量关系,并证明你的猜想.
如图,四边形 ABCD 内接于 ⊙ O , ∠ BAD = 90 ° ,点 E 在 BC 的延长线上,且 ∠ DEC = ∠ BAC .
(1)求证: DE 是 ⊙ O 的切线;
(2)若 AC / / DE ,当 AB = 8 , CE = 2 时,求 AC 的长.
【观察】 1 × 49 = 49 , 2 × 48 = 96 , 3 × 47 = 141 , … , 23 × 27 = 621 , 24 × 26 = 624 , 25 × 25 = 625 , 26 × 24 = 624 , 27 × 23 = 621 , … , 47 × 3 = 141 , 48 × 2 = 96 , 49 × 1 = 49 .
【发现】根据你的阅读回答问题:
(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为 ;
(2)设参与上述运算的第一个因数为 a ,第二个因数为 b ,用等式表示 a 与 b 的数量关系是 .
【类比】观察下列两数的积: 1 × 59 , 2 × 58 , 3 × 57 , 4 × 56 , … , m × n , … , 56 × 4 , 57 × 3 , 58 × 2 , 59 × 1 .
猜想 mn 的最大值为 ,并用你学过的知识加以证明.