设函数上两点,若,且P点的横坐标为.(Ⅰ)求P点的纵坐标;(Ⅱ)若求;(Ⅲ)记为数列的前n项和,若对一切都成立,试求a的取值范围.
(本小题满分12分)某工厂生产某种儿童玩具,每件玩具的成本为30元,并且每件玩具的加工费为元(其中为常数,且),设该工厂每件玩具的出厂价为元(),根据市场调查,日销售量与(为自然对数的底数)成反比例,当每件玩具的出厂价为40元时,日销售量为10件.(Ⅰ)求该工厂的日利润(元)与每件玩具的出厂价元的函数关系式;(Ⅱ)当每件玩具的日售价为多少元时,该工厂的利润最大,并求的最大值.
(本小题满分13分)如图甲,直角梯形中,,,点、分别在,上,且,,,,现将梯形沿折起,使平面与平面垂直(如图乙).(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)当的长为何值时,二面角的大小为?
(本小题满分13分)已知,,其中,若函数,且的对称中心到对称轴的最近距离不小于(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)在中,分别是角的对边,且,当取最大值时,,求的面积.
(本小题满分12分)已知的三边长成等差数列,若点的坐标分别为.(1)求顶点的轨迹的方程;(2)若线段的延长线交轨迹于点,当时求线段的垂直平分线与轴交点的横坐标的取值范围.
(本小题满分13分) 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间 (单位:年)有关. 若,则销售利润为元;若,则销售利润为元;若,则销售利润为元.设每台该种电器的无故障使用时间,及这三种情况发生的概率分别为,,,叉知,是方程的两个根,且 (1)求,,的值; (2)记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和,求的期望.