已知关于x的一元二次方程。(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时,求k的值。
在我们学习过的数学教科书中,有一个数学活动,若身旁没有量角器或三角尺,又需要作 60 ° , 30 ° , 15 ° 等大小的角,可以采用如下方法:
操作感知:
第一步:对折矩形纸片 ABCD ,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF ,把纸片展开(如图1 ) .
第二步:再一次折叠纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B ,得到折痕 BM ,同时得到线段 BN (如图 2 ) .
猜想论证:
(1)若延长 MN 交 BC 于点 P ,如图3所示,试判定 ΔBMP 的形状,并证明你的结论.
拓展探究:
(2)在图3中,若 AB = a , BC = b ,当 a , b 满足什么关系时,才能在矩形纸片 ABCD 中剪出符合(1)中结论的三角形纸片 BMP ?
为了倡导“节约用水,从我做起”,某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查.市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量(单位:吨),调查中发现,每户家庭月平均用水量在 3 ~ 7 吨范围内,并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表:
月平均用水量(吨 )
3
4
5
6
7
频数(户数)
a
9
10
频率
0.08
0.40
b
c
0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题:
(1)填空: a = , b = , c = .
(2)这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ,众数是 ,中位数是 .
(3)根据样本数据,估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的约有多少户?
(4)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中,选取两户进行“节水”经验分享.请用列表或画树状图的方法,求出恰好选到甲、丙两户的概率,并列出所有等可能的结果.
如图1是某中学教学楼的推拉门,已知门的宽度 AD = 2 米,且两扇门的大小相同(即 AB = CD ) ,将左边的门 AB B 1 A 1 绕门轴 A A 1 向里面旋转 35 ° ,将右边的门 CD D 1 C 1 绕门轴 D D 1 向外面旋转 45 ° ,其示意图如图2,求此时 B 与 C 之间的距离(结果保留一位小数).(参考数据: sin 35 ° ≈ 0 . 6 , cos 35 ° ≈ 0 . 8 , 2 ≈ 1 . 4 )
如图,在 ΔABC 中, AD 是 BC 边上的中线,以 AB 为直径的 ⊙ O 交 BC 于点 D ,过 D 作 MN ⊥ AC 于点 M ,交 AB 的延长线于点 N ,过点 B 作 BG ⊥ MN 于 G .
(1)求证: ΔBGD ∽ ΔDMA ;
(2)求证:直线 MN 是 ⊙ O 的切线.
如图, DB 是 ▱ ABCD 的对角线.
(1)尺规作图(请用 2 B 铅笔):作线段 BD 的垂直平分线 EF ,交 AB , DB , DC 分别于 E , O , F ,连接 DE , BF (保留作图痕迹,不写作法).
(2)试判断四边形 DEBF 的形状并说明理由.