已知函数.（1）解不等式；（2）若，且，求证：.

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，且，求证：.

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{1 - a^{2}} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上.
（Ⅰ）若椭圆 $E$ 的焦距为1，求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点， $P$ 为椭圆 $E$ 上第一象限内的点，直线 $F_{2} P$ 交 $y$ 轴与点 $Q$ ，并且 $F_{1} P ⊥ F_{1} Q$ ，证明：当 $a$ 变化时，点 $P$ 在某定直线上.

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设函数 $f (x) = a x - (1 + a) x^{2}$ ，其中 $a > 0$ ，区间 $I = \{x | f (x) > 0\}$

（Ⅰ）求 $I$ 的长度（注：区间 $(α, β)$ 的长度定义为 $β - α$ ）；
（Ⅱ）给定常数 $k \in (0, 1)$ ，当 $1 - k \leq a \leq 1 + k$ 时，求 $I$ 长度的最小值.

题型：未知
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已知函数 $f (x) = 4 \cos ω x \cdot \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ .
（Ⅰ）求 $ω$ 的值；
（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调性.

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已知 $\{a_{n}\}$ 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 $n$ 项的最大值记为 $A_{n}$ ，第n项之后各项 $a_{n + 1}$ ， $a_{n + 2}$ …的最小值记为 $B_{n}$ ， $d_{n} = A_{n} - B_{n}$ .
(1)若 $\{a_{n}\}$ 为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 4} = a_{n}$ )，写出 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ， $d_{3}$ ， $d_{4}$ 的值；
(2)设d为非负整数，证明： $d_{n} = - d$ ( $n = 1, 2, 3 \dots$ )的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；
(3)证明：若 $a_{1} = 2$ ， $d_{n} = 1 (n = 1, 2, 3 \dots)$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

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已知 $A, B, C$ 是椭圆 $W : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的三个点， $O$ 是坐标原点.
(I)当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $O A B C$ 为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $O A B C$ 是否可能为菱形，并说明理由.

题型：未知
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