省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图(单位:cm):若身高在180cm以上(包括180cm)定义为“高个子”,身高在180cm以下(不包括180cm)定义为“非高个子”.(Ⅰ)用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,如果从这5人中随机选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(Ⅱ)若从所有“高个子”中随机选3名队员,用表示乙校中选出的“高个子”人数,试求出的分布列和数学期望.
(本题满分13分,第(Ⅰ)问4分,第(Ⅱ)问4分, 第(Ⅲ)问5分) 甲、乙 两人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为,求: (Ⅰ)两个人都能译出密码的概率; (Ⅱ)恰有一个人译出密码的概率; (Ⅲ)至多有一个人译出密码的概率.
(本小题满分12分)已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为. (1)求抛物线的方程; (2)过点的直线与抛物线交于不同的两点,若在轴上存在一点使得是等边三角形,求的值.
(本小题满分12分)在中,角的对边分别为,若. (1)求的值; (2)若求的面积.
如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面)中,,点是棱的中点,且. (1)求证:; (2)求直线与平面所成角的正弦值.
(本小题满分12分)从一批苹果中随机抽取100个作为样本,其重量(单位:克)的频数分布表如下:
(1)在频率分布直方图中,求分组重量在对应小矩形的高; (2)利用频率估计这批苹果重量的平均数. (3)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中抽取5个,从这5个苹果任取2个,求重量在这两个组中各有1个的概率.