如图，在△ABC中，ABBC，以AB为直径的⊙O交AC于点D

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长．（结果保留π）

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箭头四角形

模型规律

如图1，延长 $CO$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，则 $∠ BOC = ∠ 1 + ∠ B = ∠ A + ∠ C + ∠ B$ ．

因为凹四边形 $ABOC$ 形似箭头，其四角具有“ $∠ BOC = ∠ A + ∠ B + ∠ C$ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．

模型应用

（1）直接应用：①如图2， $∠ A + ∠ B + ∠ C + ∠ D + ∠ E + ∠ F =$ 　 $2 α$ 　．

②如图3， $∠ ABE$ 、 $∠ ACE$ 的2等分线（即角平分线） $BF$ 、 $CF$ 交于点 $F$ ，已知 $∠ BEC = 120 °$ ， $∠ BAC = 50 °$ ，则 $∠ BFC =$ 　　．

③如图4， $B O_{i}$ 、 $C O_{i}$ 分别为 $∠ ABO$ 、 $∠ ACO$ 的2019等分线 $(i = 1$ ，2，3， $\dots$ ，2017， $2018)$ ．它们的交点从上到下依次为 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 、 $O_{3}$ 、 $\dots$ 、 $O_{2018}$ ．已知 $∠ BOC = m °$ ， $∠ BAC = n °$ ，则 $∠ B O_{1000} C =$ 　　度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形 $ABCD$ 中， $BC = CD$ ， $∠ BCD = 2 ∠ BAD$ ． $O$ 是四边形 $ABCD$ 内一点，且 $OA = OB = OD$ ．求证：四边形 $OBCD$ 是菱形．

题型：未知
难度：未知

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渠县賨人谷是国家 $AAAA$ 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形 $ABCD$ ，想法测出了尾部 $C$ 看头顶 $B$ 的仰角为 $40 °$ ，从前脚落地点 $D$ 看上嘴尖 $A$ 的仰角刚好 $60 °$ ， $CB = 5 m$ ， $CD = 2.7 m$ ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是 $3 m$ ．于是，他们很快就算出了 $AB$ 的长．你也算算？（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84 . \sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$