解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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解不等式组．把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．

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如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $x$ 轴于 $A (- 3, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．点 $P$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $PM$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ．试探究点 $P$ 在运动过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点 $Q$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过点 $P$ 作 $PN ⊥ BC$ ，垂足为点 $N$ ．请用含 $m$ 的代数式表示线段 $PN$ 的长，并求出当 $m$ 为何值时 $PN$ 有最大值，最大值是多少？

题型：未知
难度：未知

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阅读下面的例题及点拨，并解决问题：

例题：如图①，在等边 $ΔABC$ 中， $M$ 是 $BC$ 边上一点（不含端点 $B$ ， $C)$ ， $N$ 是 $ΔABC$ 的外角 $∠ ACH$ 的平分线上一点，且 $AM = MN$ ．求证： $∠ AMN = 60 °$ ．

点拨：如图②，作 $∠ CBE = 60 °$ ， $BE$ 与 $NC$ 的延长线相交于点 $E$ ，得等边 $ΔBEC$ ，连接 $EM$ ．易证： $ΔABM ≅ ΔEBM (SAS)$ ，可得 $AM = EM$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ；又 $AM = MN$ ，则 $EM = MN$ ，可得 $∠ 3 = ∠ 4$ ；由 $∠ 3 + ∠ 1 = ∠ 4 + ∠ 5 = 60 °$ ，进一步可得 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 5$ ，又因为 $∠ 2 + ∠ 6 = 120 °$ ，所以 $∠ 5 + ∠ 6 = 120 °$ ，即： $∠ AMN = 60 °$ ．

问题：如图③，在正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M_{1}$ 是 $B_{1} C_{1}$ 边上一点（不含端点 $B_{1}$ ， $C_{1})$ ， $N_{1}$ 是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外角 $∠ D_{1} C_{1} H_{1}$ 的平分线上一点，且 $A_{1} M_{1} = M_{1} N_{1}$ ．求证： $∠ A_{1} M_{1} N_{1} = 90 °$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 120 °$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上， $⊙ D$ 经过点 $A$ 和点 $B$ 且与 $BC$ 边相交于点 $E$ ．

（1）求证： $AC$ 是 $⊙ D$ 的切线；

（2）若 $CE = 2 \sqrt{3}$ ，求 $⊙ D$ 的半径．

题型：未知
难度：未知

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如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象与一次函数 $y = - x + b$ 的图象在第一象限交于 $A (1, 3)$ ， $B (3, 1)$ 两点

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）已知点 $P (a$ ， $0) (a > 0)$ ，过点 $P$ 作平行于 $y$ 轴的直线，在第一象限内交一次函数 $y = - x + b$ 的图象于点 $M$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 上的图象于点 $N$ ．若 $PM > PN$ ，结合函数图象直接写出 $a$ 的取值范围．

题型：未知
难度：未知

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为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下：

收集数据：

七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．

八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．

整理数据：

	$40 ⩽ x ⩽ 49$	$50 ⩽ x ⩽ 59$	$60 ⩽ x ⩽ 69$	$70 ⩽ x ⩽ 79$	$80 ⩽ x ⩽ 89$	$90 ⩽ x ⩽ 100$
七年级	0	1	0	$a$	7	1
八年级	1	0	0	7	$b$	2

分析数据：

	平均数	众数	中位数
七年级	78	75	$c$
八年级	78	$d$	80.5

应用数据：

（1）由上表填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　， $c =$ 　　， $d =$ 　　．

（2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？

（3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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