如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD交于点O,且AC=80,BD=60.动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发,分别沿A→O→D和D→A运动,当点N到达点A时,M、N同时停止运动.设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的周长;(2)记△DMN的面积为S,求S关于t的解析式,并求S的最大值;(3)当t=30秒时,在线段OD的垂直平分线上是否存在点P,使得∠DPO=∠DON?若存在,这样的点P有几个?并求出点P到线段OD的距离;若不存在,请说明理由.
在 ΔABC 中, ∠ BAC = = 90 ° , AB = AC ,点 D 在边 BC 上, DE ⊥ DA 且 DE = DA , AE 交边 BC 于点 F ,连接 CE .
(1)特例发现:如图1,当 AD = AF 时,
①求证: BD = CF ;
②推断: ∠ ACE = ° ;
(2)探究证明:如图2,当 AD ≠ AF 时,请探究 ∠ ACE 的度数是否为定值,并说明理由;
(3)拓展运用:如图3,在(2)的条件下,当 EF AF = 1 3 时,过点 D 作 AE 的垂线,交 AE 于点 P ,交 AC 于点 K ,若 CK = 16 3 ,求 DF 的长.
受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售."一方有难,八方支援"某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助,对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按25元 / 千克的价格出售.设经销商购进甲种水果 x 千克,付款 y 元, y 与 x 之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出当 0 ⩽ x ⩽ 50 和 x > 50 时, y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若经销商计划一次性购进甲,乙两种水果共100千克,且甲种水果不少于40千克,但又不超过60千克.如何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额 w (元 ) 最少?
(3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为40元 / 千克和36元 / 千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共 a 千克,且销售完 a 千克水果获得的利润不少于1650元,求 a 的最小值.
如图, AB 是 ⊙ O 的直径, E , C 是 ⊙ O 上两点,且 EC ̂ = BC ̂ ,连接 AE , AC .过点 C 作 CD ⊥ AE 交 AE 的延长线于点 D .
(1)判定直线 CD 与 ⊙ O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 AB = 4 , CD = 3 ,求图中阴影部分的面积.
如图,反比例函数 y 1 = m x ( x > 0 ) 和一次函数 y 2 = kx + b 的图象都经过点 A ( 1 , 4 ) 和点 B ( n , 2 ) .
(1) m = , n = ;
(2)求一次函数的解析式,并直接写出 y 1 < y 2 时 x 的取值范围;
(3)若点 P 是反比例函数 y 1 = m x ( x > 0 ) 的图象上一点,过点 P 作 PM ⊥ x 轴,垂足为 M ,则 ΔPOM 的面积为 .
3月14日是国际数学日,"数学是打开科学大门的钥匙."为进一步提高学生学习数学的兴趣,某校开展了一次数学趣味知识竞赛(竞赛成绩为百分制),并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分),经过整理数据得到以下信息:
信息一:50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示,从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值,不含后端点值).
信息二:第三组的成绩(单位:分)为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息答案下列问题:
(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全);
(2)第三组竞赛成绩的众数是 分,抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 分;
(3)若该校共有1500名学生参赛,请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 人.