设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的左焦点为 $F$, 离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$, 过点 $F$且与 $x$轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设 $A,B$分别为椭圆的左右顶点, 过点 $F$且斜率为 $k$的直线与椭圆交于 $C,D$两点. 若 $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}·\stackrel{\rightharpoonup }{DB}+\stackrel{\rightharpoonup }{AD}·\stackrel{\rightharpoonup }{CB}=8$, 求 $k$的值.