已知抛物线 $C$的顶点为原点，其焦点 $F\left(0,c\right)\left(c>0\right)$到直线 $l:x-y-2=0$的距离为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$．设 $P$为直线 $l$上的点，过点 $P$作抛物线 $C$的两条切线 $PA,PB$，其中 $A,B$为切点．
(1) 求抛物线 $C$的方程；
(2) 当点 $P\left(x_0,y_0\right)$为直线 $l$上的定点时，求直线 $AB$的方程；
(3) 当点 $P$在直线 $l$上移动时，求 $\left|AB\right|·\left|BF\right|$的最小值．