如图①，在边长为1的等边三角形 $ABC$中， $D,E$分别是 $AB,AC$边上的点， $AD=AE$， $F$是 $BC$的中点， $AF$与 $DE$交于点 $G$，将 $△ABF$沿 $AF$折起，得到如图②所示的三棱锥 $A-BCF$，其中 $BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 证明： $DE//$平面 $BCF$；
(2) 证明： $CF\perp$平面 $ABF$；
(3) 当 $AD=\frac{2}{3}$时，求三棱锥 $F-DEG$的体积 $V_{F-DEG}$．