如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的

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如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为4的正方形.平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ， $A B = 3, B C = 5$ .

（Ⅰ）求证： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A_{1} - B C_{1} - B_{1}$ 的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段 $B C_{1}$ 存在点 $D$ ，使得 $A D ⊥ A_{1} B$ ，并求 $\frac{B D}{B C_{1}}$ 的值.

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（（本题12分）如图2，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E、F、G分别是DD₁、BD、BB₁的中点。
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(Ⅱ)求直线C₁C与平面GFC所成角的正弦值；
(Ⅲ)求二面角E—FC—B的余弦值。

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（本题12分）求过两圆的交点，
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(Ⅱ)且圆心在直线上的圆的方程。

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(Ⅲ)求BC边的垂直平分线的方程。

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⑴求椭圆E的方程；
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如图所示，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，棱长为，E为棱CC₁上的动点.
⑴求证：A₁E⊥BD；
⑵当E恰为棱CC₁的中点时，求二面角A₁—BD—E的大小；
⑶在⑵的条件下，求。

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