如图,在三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中, A A 1 C 1 C 是边长为4的正方形.平面 A B C ⊥ 平面 A A 1 C 1 C , A B = 3 , B C = 5 .
(Ⅰ)求证: A A 1 ⊥ 平面 A B C ; (Ⅱ)求二面角 A 1 - B C 1 - B 1 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 B C 1 存在点 D ,使得 A D ⊥ A 1 B ,并求 B D B C 1 的值.
(本小题满分12分)已知函数(I)求x为何值时,上取得最大值;(II)设是单调递增函数,求a的取值范围.
(本小题满分12分)已知点R(-3,0),点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上 ,且满足,.(Ⅰ)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设为轨迹C上两点,且,N(1,0),求实数,使,且.
(本小题满分12分)已知一四棱锥P-ABCD的三视图如下,E是侧棱PC上的动点。(Ⅰ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅱ)当点E在何位置时,BD⊥AE?证明你的结论;(Ⅲ)若点E为PC的中点,求二面角D-AE-B的大小.
(本小题满分12分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取2个球.(Ⅰ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率;(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球恰有1个为黑球”为事件A;“从乙盒内取出的2个球都是黑球”为事件B,求在事件A发生的条件下,事件B发生的概率; (Ⅲ)设为取出的4个球中红球的个数,求的分布列和数学期望。
(本小题满分12分)在中,已知内角,边.设内角,的面积为.(Ⅰ)求函数的解析式和定义域;(Ⅱ)当角B为何值时,的面积最大。