三月份学校团委组织开展了学雷锋系列活动.活动结束后，为了表彰

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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三月份学校团委组织开展了“学雷锋”系列活动.活动结束后，为了表彰优秀，团委王老师准备用一笔钱购买奖品.如果以1支钢笔和2本笔记本为一份奖品，则可买60份奖品；如果以1支钢笔和3本笔记本为一份奖品，则可以买50份奖品.
（1）如果这笔钱刚好有600元，试求出每支钢笔和每本笔记本的价格多少？
（2）如果用这笔钱全部购买钢笔，问：总共可以买几支?
（3）如果王老师用这笔钱恰好能买30份同样的奖品，那么可以选择几支钢笔和几本笔记本作为一份奖品？请你写出所有可能的情况供王老师选择.

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"通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知"是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 $x - \sqrt{x} = 0$ ，就可以利用该思维方式，设 $\sqrt{x} = y$ ，将原方程转化为： $y^{2} - y = 0$ 这个熟悉的关于 $y$ 的一元二次方程，解出 $y$ ，再求 $x$ ，这种方法又叫"换元法"．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数 $x$ ， $y$ 满足 $\{\begin{matrix} 5 x^{2} y^{2} + 2 x + 2 y = 133 \\ \frac{x + y}{4} + 2 x^{2} y^{2} = 51 \end{matrix}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．

跳绳的次数	频数
$60 ⩽ x <$	4
$⩽ x <$	6
$⩽ x <$	11
$⩽ x <$	22
$⩽ x <$	10
$⩽ x <$	4
$⩽ x <$

（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；

（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；

（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．

题型：未知
难度：未知

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已知自变量 $x$ 与因变量 $y_{1}$ 的对应关系如表呈现的规律．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	$\dots$
$y_{1}$	$\dots$	12	11	10	9	8	$\dots$

（1）直接写出函数解析式及其图象与 $x$ 轴和 $y$ 轴的交点 $M$ ， $N$ 的坐标；

（2）设反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与（1）求得的函数的图象交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点且 $S_{ΔAOB} = 30$ ，求反比例函数解析式；已知 $a \neq 0$ ，点 $(a, y_{2})$ 与 $(a, y_{1})$ 分别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出 $y_{2}$ 与 $y_{1}$ 的大小关系．

题型：未知
难度：未知

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如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $65 °$ 方向航行 $38 km$ 到 $B$ 港，然后再沿北偏西 $42 °$ 方向航行至 $C$ 港，已知 $C$ 港在 $A$ 港北偏东 $20 °$ 方向．

（1）直接写出 $∠ C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

题型：未知
难度：未知

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如图，正方形 $ABCD$ ， $G$ 是 $BC$ 边上任意一点（不与 $B$ 、 $C$ 重合）， $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF / / DE$ ，且交 $AG$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AF - BF = EF$ ；

（2）四边形 $BFDE$ 是否可能是平行四边形，如果可能，请指出此时点 $G$ 的位置，如不可能，请说明理由．

题型：未知
难度：未知

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