已知数列中，，满足。(1)求证：数列为等差数列;(2)求数列

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知数列中，，满足。
(1)求证：数列为等差数列;
(2)求数列的前项和.

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已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ , 上顶点为 $B$ , 离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ , 且 $| BF | = \sqrt{5}$ .

(1) 求椭圆的方程.

(2) 直线 $l$ 与椭圆有唯一的公共点 $M$ , 与 $y$ 轴的正半轴交于点 $N$ . 过 $N$ 与 $BF$ 垂直的直线交 $x$ 轴于点 $P$ . 若 $MP ‖ BF$ , 求直线 $l$ 的方程.

题型：未知
难度：未知

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如图, 在棱长为 2 的正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为棱 $BC, CD$ 的中点.

(1) 求证： $D_{1} F ‖ A_{1} E C_{1}$ .

(2) 求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} E C_{1}$ 所成角的正弦值.

(3) 求二面角 $A - A_{1} C_{1} - E$ 的正弦值.

题型：未知
难度：未知

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在 $△ ABC$ 中, 内角 $A, B, C$ 对边分别为 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : 1 : \sqrt{2}, b = \sqrt{2}$ .

(1) 求 $a$ 的值.

(2) 求 $\cos C$ 的值.

(3) 求 $\sin (2 C - \frac{π}{6})$ 的值.

题型：未知
难度：未知

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若无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ．

（1）若 ${a_{n}}$ 具有性质 $P$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{4} = 3$ ， $a_{5} = 2$ ， $a_{6} + a_{7} + a_{8} = 21$ ，求 $a_{3}$ ；

（2）若无穷数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，无穷数列 ${c_{n}}$ 是公比为正数的等比数列， $b_{1} = c_{5} = 1$ ； $b_{5} = c_{1} = 81$ ， $a_{n} = b_{n} + c_{n}$ ，判断 ${a_{n}}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

（3）设 ${b_{n}}$ 是无穷数列，已知 $a_{n + 1} = b_{n} + \sin a_{n} (n \in N^{*})$ ，求证：“对任意 $a_{1}$ ， ${a_{n}}$ 都具有性质 $P$ ”的充要条件为“ ${b_{n}}$ 是常数列”．

题型：未知
难度：未知

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已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \log_{2} (\frac{1}{x} + a)$ ．

（1）当 $a = 5$ 时，解不等式 $f (x) > 0$ ；

（2）若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} [(a - 4) x + 2 a - 5] = 0$ 的解集中恰好有一个元素，求 $a$ 的取值范围．

（3）设 $a > 0$ ，若对任意 $t \in [\frac{1}{2}$ ， $1]$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $[t$ ， $t + 1]$ 上的最大值与最小值的差不超过1，求 $a$ 的取值范围．

题型：未知
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