解不等式(组),并将解集在数轴上表示出来(1);(2)
已知:如图,点,在线段上,,,.求证:.
综合与探究
如图,抛物线与轴交于,两点(点在点的左侧),与轴交于点,连接,.点是第四象限内抛物线上的一个动点,点的横坐标为,过点作轴,垂足为点,交于点,过点作交轴于点,交于点.
(1)求,,三点的坐标;
(2)试探究在点运动的过程中,是否存在这样的点,使得以,,为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请用含的代数式表示线段的长,并求出为何值时有最大值.
综合与实践
问题情境:在数学活动课上,老师出示了这样一个问题:如图1,在矩形中,,是延长线上一点,且,连接,交于点,以为一边在的左下方作正方形,连接.试判断线段与的位置关系.
探究展示:勤奋小组发现,垂直平分,并展示了如下的证明方法:
证明:,.
,.
四边形是矩形,.
.(依据
,..
即是的边上的中线,
又,.(依据
垂直平分.
反思交流:
(1)①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么?
②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上,请直接回答,不必证明;
(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,如图2,连接,以为一边在的左下方作正方形,发现点在线段的垂直平分线上,请你给出证明;
探索发现:
(3)如图3,连接,以为一边在的右上方作正方形,可以发现点,点都在线段的垂直平分线上,除此之外,请观察矩形和正方形的顶点与边,你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上,请写出一个你发现的结论,并加以证明.
请阅读下列材料,并完成相应的任务:
在数学中,利用图形在变化过程中的不变性质,常常可以找到解决问题的办法.著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子:请问如何在一个三角形的和两边上分别取一点和,使得.(如图)解决这个问题的操作步骤如下:
第一步,在上作出一点,使得,连接.第二步,在上取一点,作,交于点,并在上取一点,使.第三步,过点作,交于点.第四步,过点作,交于点,再过点作,交于点.
则有.
下面是该结论的部分证明:
证明:,,
又.△.
.
同理可得..
任务:(1)请根据上面的操作步骤及部分证明过程,判断四边形的形状,并加以证明;
(2)请再仔细阅读上面的操作步骤,在(1)的基础上完成的证明过程;
(3)上述解决问题的过程中,通过作平行线把四边形放大得到四边形,从而确定了点,的位置,这里运用了下面一种图形的变化是 .
.平移 .旋转 .轴对称 .位似
2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南北京西”全程大约500千米,“复兴号” 次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询,“复兴号” 次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号” 次列车从太原南到北京西需要多长时间.