已知椭圆具有性质：若是椭圆：且为常数上关于原点对称的两点，点

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知椭圆具有性质：若是椭圆：且为常数上关于原点对称的两点，点是椭圆上的任意一点，若直线和的斜率都存在，并分别记为，，那么与之积是与点位置无关的定值．
试对双曲线且为常数写出类似的性质，并加以证明．

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已知三点 $O (0, 0), A (- 2, 1), B (2, 1)$ ，曲线上一点 $M (x, y)$ 满足 $|\overset{⇀}{M A} + \overset{⇀}{M B}| = \overset{⇀}{O M} \cdot (\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}) + 2$

（1）求曲线的方程

（2）点 $Q (x_{0}, y_{0}) (- 2 < x_{0} < 2)$ 是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为L，点P的坐标是(0,1)， L与PA，PB分别交于点D，E，求 $△ Q A B$ 与 $△ P D E$ 的面积之比。

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如图，梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D, E, F$ 是线段 $A B$ 上的两点,且 $D E ⊥ A B, A B = 12, A D = 5, B C = 4 \sqrt{2}, D E = 4$ .现将△ $∆ A D E, ∆ C F B$ 分别沿 $D E, C F$ 折起,使两点 $A, B$ 重合于点 $G$ ,得到多面体 $C D E F G$ .

（1）求证：平面 $D E F ⊥$ 平面 $C F G$ ;

（2）求多面体 $C D E F G$ 的体积

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如图，从 $A_{1} (1, 0, 0)$ ， $A_{2} (2, 0, 0$ ， $B_{1} (0, 1, 0)$ ， $B_{2} (0, 2, 0)$ ， $C_{1} (0, 0, 1)$ ， $C_{2} (0, 0, 2)$ ，这6个点中随机选取3个点。

（Ⅰ）求这3点与原点 $O$ 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

（Ⅱ）求这3点与原点 $O$ 共面的概率。

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = k c^{n} - k$ （其中 $c, k$ 为常数），且 $a_{2} = 4, a_{6} = 8 a_{3}$ （Ⅰ）求 $a_{n}$ ；（Ⅱ）求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $3 \cos (B - C) - 1 = 6 \cos B \cos C$ ，（1）求 $\cos A$ （2）若 $a = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $b, c$

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