直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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直棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.
(1)求证：平面ACB₁⊥平面BB₁C₁C；
(2)在A₁B₁上是否存在一点P，使得DP与平面ACB₁平行？证明你的结论．

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已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = e^{x} \sin x (x \in [0, + \infty))$ ，记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n$ ( $n \in N_{+}$ )个极值点，证明：
（1）数列 $\{f (x_{n})\}$ 是等比数列
（2）若 $a \geq \frac{1}{\sqrt{e^{2} - 1}}$ ，则对一切 $n \in N^{*}$ ， $x_{n} < |f (x_{n})|$ 恒成立.

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已知抛物线 $C_{1} : x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的公共弦的长为 $2 \sqrt{6}$ .
（1）求 $C_{2}$ 的方程；
（2）过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_{1}$ 相交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 相交于 $C, D$ 两点，且 $\vec{A C}$ 与 $\vec{B D}$ 同向
（ⅰ）若 $|A C| = |B D|$ ，求直线 $l$ 的斜率
（ⅱ）设 $C_{1}$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，证明：直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时， $△ M F D$ 总是钝角三角形

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如图,已知四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上、下底面分别是边长为3和6的正方形, $A A_{1} = 6$ ,且 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ,点 $P, Q$ 分别在棱 $D D_{1}, B C$ 上.

（1）若 $P$ 是 $D D_{1}$ 的中点,证明: $A B_{1} = P Q$ ；
（2）若 $P Q ∥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ,二面角 $P - Q D - A$ 的余弦值为 $\frac{3}{7}$ ,求四面体 $A D P Q$ 的体积.

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某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = b \tan A$ ，且 $B$ 为钝角.
（1）证明： $B - A = \frac{π}{2}$ ；
（2）求 $\sin A + s i n C$ 的取值范围.

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