已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；（

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更新 2022-09-03
科目数学
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已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

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在极坐标中，已知圆 $C$ 经过点 $P (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，圆心为直线 $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆 $C$ 的极坐标方程．

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已知矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1} = [\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A$ 的特征值．

题型：未知
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如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $D, E$ 为圆上位于 $A B$ 异侧的两点，连结 $B D$ 并延长至点 $C$ ，使 $B D = D C$ ，连结 $A C, A E, D E$ ．
求证： $∠ E = ∠ C$ ．

题型：未知
难度：未知

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已知各项均为正数的两个数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足： $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{\sqrt{{a_{n}}^{2} + {b_{n}}^{2}}}, n \in N^{*}$ ，
（1）设 $b_{n + 1} = 1 + \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in N^{*}$ ，求证：数列 ${(\frac{b_{n}}{a_{n}})^{2}}$ 是等差数列；

（2）设 $b_{n + 1} = \sqrt{2} \cdot \frac{b_{n}}{a_{n}}, n \in N^{*}$ ，且 ${a_{n}}$ 是等比数列，求 $a_{1}$ 和 $b_{1}$ 的值．

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ．已知 $(1, e)$ 和 $(e, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 都在椭圆上，其中 $e$ 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）设 $A, B$ 是椭圆上位于 $x$ 轴上方的两点，且直线 $A F_{1}$ 与直线 $B F_{2}$ 平行， $A F_{2}$ 与 $B F_{1}$ 交于点 $P$ ．
（i）若 $A F_{1} = B F_{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $A F_{1}$ 的斜率；
（ii）求证： $P F_{1} + P F_{2}$ 是定值．

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