小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得价值分别为1000元,3000元,6000元的奖品(不重复得奖),小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为,且每个问题回答正确与否相互独立.
(1)求小王过第一关但未过第二关的概率;
(2)用X表示小王所获得奖品的价值,写出X的概率分布列,并求X的数学期望.

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已知：函数（是常数）是奇函数，且满足.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）试判断函数在区间上的单调性并说明理由.

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在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = c a_{n} + c^{n + 1} （ 2 n + 1 ） (n \in N * ）$ ，其中实数 $c \neq 0$ .

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）若对一切 $k \in N *$ 有 $a_{2 k} > a_{2 k - 1}$ ，求 $c$ 的取值范围。

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（II）如题图，已知过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 的直线 $l_{1} : x_{1} x + 4 y_{1} y = 4$ 与过点 $N (x_{2}, y_{2})$ （其中 $x_{2} \neq x$ ）的直线 $l_{2} : x_{2} x + 4 y_{2} y = 4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $M N$ 与两条渐近线分别交与 $G, H$ 两点，求 $△ O G H$ 的面积.

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如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = P B \sqrt{6}$ ，点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点。

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( $I I$ )若 $A D = \sqrt{3}$ ，求二面角 $A - E C - D$ 的平面角的余弦值。

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已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + a} + \ln (x + 1)$ 其中实数 $a \neq 1$ .
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（II)若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，试讨论 $f (x)$ 的单调性.

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