求直线被圆所截得的弦长.
设椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , A 是椭圆上的一点, A F 2 ⊥ F 1 F 2 ,原点 O 到直线 A F 1 的距离为 1 3 O F 1 . (Ⅰ)证明 a = 2 b ; (Ⅱ)设 Q 1 , Q 2 为椭圆上的两个动点, O Q 1 ⊥ O Q 2 ,过原点 O 作直线 Q 1 Q 2 的垂线 O D ,垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.
在数列 a n 中, a 1 = 2 , a n - 1 = λ a n + λ n + 1 + 2 - λ 2 n n ∈ N + ,其中 λ > 0 . (Ⅰ)求数列 a n 的通项公式; (Ⅱ)求数列 a n 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ∈ N + ,使得 a n - 1 a n ≤ a k + 1 a k 对任意 n ∈ N + a n 均成立.
已知函数 f x = 2 a x - a 2 + 1 x 2 + 1 x ∈ R ,其中 a ∈ R . (Ⅰ)当 a = 1 时,求曲线 y = f x 在点 2 , f 2 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求函数 f x 的单调区间与极值.
如图,在四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 底面 A B C D , A B ⊥ A D , A C ⊥ C D , ∠ A B C = 60 ° , P A = A B = B C , E 是 P C 的中点. (Ⅰ)证明 C D ⊥ A E ; (Ⅱ)证明 P D ⊥ 平面 A B E ; (Ⅲ)求二面角 A - P D - C 的大小.
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球. (Ⅰ)求取出的4个球均为黑球的概率; (Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率; (Ⅲ)设 ξ 为取出的4个球中红球的个数,求 ξ 的分布列和数学期望.