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  • 更新 2022-09-03
  • 科目 数学
  • 题型 解答题
  • 难度 中等
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挑错有奖

如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y=（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A1A2、A2A3，…An﹣1An都在x轴上
（1）求P1的坐标；
（2）求y1+y2+y3+…y10的值．

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人教版初中数学教科书八年级上册第 35 - 36 页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：

已知： ΔABC ．

求作：△ A ' B ' C ' ，使得△ A ' B ' C ' ≅ ΔABC ．

作法：如图．

（1）画 B ' C ' = BC ；

（2）分别以点 B ' ， C ' 为圆心，线段 AB ， AC 长为半径画弧，两弧相交于点 A ' ；

（3）连接线段 A ' B ' ， A ' C ' ，则△ A ' B ' C ' 即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：

（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上） :

证明：由作图可知，在△ A ' B ' C ' 和 ΔABC 中，

B ' C ' = BC A ' B ' = ( ) A ' C ' = ( )

∴ △ A ' B ' C ' ≅ 　　．

（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　　．（填序号）

① AAS

② ASA

③ SAS

④ SSS

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先化简，再求值： ( x - 3 ) 2 + ( x + 3 ) ( x - 3 ) + 2 x ( 2 - x ) ，其中 x = - 1 2 ．

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计算： | - 2 | - 2 sin 45 ° + ( 1 - 3 ) 0 + 2 × 8 ．

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如图，已知二次函数 y = a x 2 + bx + c 的图象经过点 C ( 2 , - 3 ) ，且与 x 轴交于原点及点 B ( 8 , 0 ) ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求顶点 A 的坐标及直线 AB 的表达式；

（3）判断 ΔABO 的形状，试说明理由；

（4）若点 P 为 ⊙ O 上的动点，且 ⊙ O 的半径为 2 2 ，一动点 E 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段 AP 匀速运动到点 P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 PB 匀速运动到点 B 后停止运动，求点 E 的运动时间 t 的最小值．

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阅读下面的材料：

如果函数 y = f ( x ) 满足：对于自变量 x 取值范围内的任意 x 1 ， x 2 ，

（1）若 x 1 < x 2 ，都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ，则称 f ( x ) 是增函数；

（2）若 x 1 < x 2 ，都有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) ，则称 f ( x ) 是减函数．

例题：证明函数 f ( x ) = x 2 ( x > 0 ) 是增函数．

证明：任取 x 1 < x 2 ，且 x 1 > 0 ， x 2 > 0 ．

则 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = x 1 2 - x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) ( x 1 - x 2 ) ．

∵ x 1 < x 2 且 x 1 > 0 ， x 2 > 0 ，

∴ x 1 + x 2 > 0 ， x 1 - x 2 < 0 ．

∴ ( x 1 + x 2 ) ( x 1 - x 2 ) < 0 ，即 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) < 0 ， f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ．

∴ 函数 f ( x ) = x 2 ( x > 0 ) 是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

（1）函数 f ( x ) = 1 x ( x > 0 ) ， f （1） = 1 1 = 1 ， f （2） = 1 2 ， f （3） = 　　， f （4） = 　　；

（2）猜想 f ( x ) = 1 x ( x > 0 ) 是 　　函数（填“增”或“减” ) ，并证明你的猜想．

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