某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5 000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5 000元.
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？

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甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 $OBA$ 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 $OA = 8 m$ ，桥拱顶点 $B$ 到水面的距离是 $4 m$ ．

（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；

（2）一只宽为 $1.2 m$ 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 $O$ 点 $0.4 m$ 时，桥下水位刚好在 $OA$ 处，有一名身高 $1.68 m$ 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．

（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ ，该抛物线在 $x$ 轴下方部分与桥拱 $OBA$ 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 $m (m > 0)$ 个单位长度，平移后的函数图象在 $8 ⩽ x ⩽ 9$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小，结合函数图象，求 $m$ 的取值范围．

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难度：较难

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如图，在 $⊙ O$ 中， $AC$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB$ 为 $⊙ O$ 的弦，点 $E$ 是 $\hat{AC}$ 的中点，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线，交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，分别连接 $EB$ ， $CN$ ．

（1） $EM$ 与 $BE$ 的数量关系是　　；

（2）求证： $\hat{EB} = \hat{CN}$ ；

（3）若 $AM = \sqrt{3}$ ， $MB = 1$ ，求阴影部分图形的面积．

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难度：较难

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为庆祝"中国共产党的百年华诞"，某校请广告公司为其制作"童心向党"文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：

产品	展板	宣传册	横幅
制作一件产品所需时间（小时）	1	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{2}$
制作一件产品所获利润（元 $)$	20	3	10

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．

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难度：较难

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随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B$ ， $C$ 两点之间的距离．如图所示，小星站在广场的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $41.6 m$ ，此时从无人机测得广场 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $BE = 1.6 m$ ， $EA = 50 m$ （点 $A$ ， $E$ ， $B$ ， $C$ 在同一平面内）．

（1）求仰角 $α$ 的正弦值；

（2）求 $B$ ， $C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m)$ ．

$(\sin 63 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63 ° \approx 1.96$ ， $\sin 27 ° \approx 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0.89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51)$

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难度：未知

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如图，一次函数 $y = kx - 2 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $C$ 作 $CB ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{ΔABC} = 3$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标及 $m$ 的值；

（2）若 $AB = 2 \sqrt{2}$ ，求一次函数的表达式．

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难度：未知

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