(本小题满分12分)电信公司进行促销活动,促销方案为顾客消费1000元,便可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,中奖后电信公司返还顾客现金1000元,小李购买一台价格2400元的手机,只能得2张奖券,于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通(可以得到三张奖券),小李抽奖后实际支出为X(元).(I)求X的分布列;(II)试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。
(本小题满分12分)已知函数,是的一个极值点,求: (Ⅰ)实数的值; (Ⅱ)在区间[-1,3]上的最大值和最小值。
(本小题满分12分)求当为何实数时,复数满足: (Ⅰ)为实数; (Ⅱ)为纯虚数; (Ⅲ)位于第四象限。
(本小题满分14分)已知,设函数. (Ⅰ)若时,求函数的单调区间; (Ⅱ)若,对于任意的,不等式恒成立,求实数的最大值及此时的值.
(本小题满分15分)已知抛物线上点T(3,t)到焦点的距离为4. (Ⅰ)求,的值; (Ⅱ)设、是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点,且(其中为坐标原点). (ⅰ)求证:直线必过定点,并求出该定点的坐标; (ⅱ)过点作的垂线与抛物线交于、两点,求四边形面积的最小值.
(本小题满分15分)如图,已知四棱锥,底面为边长为2的菱形,平面,,是的中点,. (Ⅰ) 证明:; (Ⅱ) 若为上的动点,求与平面所成最大角的正切值.