(本小题满分12分)电信公司进行促销活动,促销方案为顾客消费1000元,便可获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为,中奖后电信公司返还顾客现金1000元,小李购买一台价格2400元的手机,只能得2张奖券,于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通(可以得到三张奖券),小李抽奖后实际支出为X(元).(I)求X的分布列;(II)试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。
(本小题满分15分)在中,角,,所对的边分别是,,,且满足. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)求的最大值,并求取得最大值时角,的大小.
(本题14分)已知函数,其中 (Ⅰ)若函数、存在相同的零点,求的值; (Ⅱ)若存在两个正整数、,当时,有与同时成立,求的最大值及取最大值时的取值范围.
(本题15分)已知数列中,,且. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)求证:对一切,有.
(本题15分)已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为3. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设过点的直线交椭圆于、两点,若,求直线的斜率的取值范围.
(本题15分)如图,已知平面与直线均垂直于所在平面,且. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)若,求二面角的余弦值.