已知函数．（1）画出函数的图象，写出函数的单调区间；（2）解_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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已知函数．
（1）画出函数的图象，写出函数的单调区间；
（2）解关于的不等式．

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已知向量 $a = (\sin θ, - 2) 与 b = (1, \cos θ)$ 互相垂直，其中 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ．

（1）求 $\sin θ 和 \cos θ$ 的值；

（2）若 $\sin (θ - φ) = \frac{\sqrt{10}}{10}, 0 < φ < \frac{π}{2}$ ，求 $\cos φ$ 的值．

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已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 py (p > 0)$ 上一点 $A (m, 4)$ 到其焦点的距离为 $\frac{17}{4}$ .

（Ⅰ）求 p于 m的值；

（Ⅱ）设抛物线C上一点 p的横坐标为 t（ t>0）,过 p的直线交C于另一点 Q，交 x轴于 M点，过点 Q作 PQ的垂线交 C于另一点 N.若 MN是 C的切线，求 t的最小值;

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已知函数 $f (x) = x^{3} + (1 - a) x^{2} - a (a + 2) x + b (a, b \in R)$ .

（Ⅰ）若函数 $f (x)$ 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上不单调，求a的取值范围.

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设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 n项和， $S_{n} = k n^{2} + n, n \in N^{*}$ ，其中 $k$ 是常数.

（Ⅰ）求 $a_{1}$ 及 $a_{n}$ ；

（Ⅱ）若对于任意的 $m \in N^{*}$ , $a_{m}$ , $a_{2 m}$ , $a_{4 m}$ 成等比数列，求 k的值.

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如图， $DC ⊥ 平面 ABC$ , $EB ∥ DC$ , $AC = BC = EB = 2 DC = 2$ , $∠ ACB = 120 °$ ，P,Q分别为AE,AB的中点.

（Ⅰ）证明： $PQ ∥ 平面 ACD$ ；

（Ⅱ）求 $AD$ 与 $平面 ABE$ 所成角的正弦值.

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