如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格格点上．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A’B’C’；
（2）若点D在图中所给的网格中的格点上，且以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标．

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小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？

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二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的图象交 $x$ 轴于点 $(- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．动点 $M$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 $AB$ 方向运动，过点 $M$ 作 $MN ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$ ，交抛物线于点 $D$ ，连接 $AC$ ，设运动的时间为 $t$ 秒．

（1）求二次函数 $y = a x^{2} + bx + 2$ 的表达式；

（2）连接 $BD$ ，当 $t = \frac{3}{2}$ 时，求 $ΔDNB$ 的面积；

（3）在直线 $MN$ 上存在一点 $P$ ，当 $ΔPBC$ 是以 $∠ BPC$ 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 $D$ 的坐标；

（4）当 $t = \frac{5}{4}$ 时，在直线 $MN$ 上存在一点 $Q$ ，使得 $∠ AQC + ∠ OAC = 90 °$ ，求点 $Q$ 的坐标．

题型：未知
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通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．

【模型呈现】

如图，在 $Rt Δ ABC$ ， $∠ ACB = 90 °$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ，可以推理得到 $ΔABC ≅ ΔDAE$ ，进而得到 $AC = DE$ ， $BC = AE$ ．

我们把这个数学模型称为“ $K$ 型”．

推理过程如下：

【模型应用】

如图，在 $Rt Δ ABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ ACB = 90 °$ ， $BC = 2$ ，将斜边 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转一定的角度得到 $AD$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$ ， $∠ DAE = ∠ ABC$ ， $DE = 1$ ，连接 $DO$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $AD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $FC$ 交 $AB$ 于点 $G$ ，连接 $FB$ ．求证： $F G^{2} = GO \cdot GB$ ．

题型：未知
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