（本小题满分12分）已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分12分）已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线的焦点，M的离心率，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线，交M于A，B两点。
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）设点N（t，0）是一个动点，且，求实数t的取值范围。

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设函数 $f (x) = \ln x - a x, g (x) = e^{x} - a x$ ,其中 $a$ 为实数.

（1）若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是单调减函数,且 $g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最小值,求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $g (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是单调增函数,试求 $f (x)$ 的零点个数,并证明你的结论.

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难度：未知

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设 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为 $d$ 的等差数列（ $d \neq 0$ ）， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和. 记 $b_{n} = \frac{n S_{n}}{n^{2} + c}$ ， $n \in N^{+}$ ，其中 $c$ 为实数.
（1）若 $c = 0$ ，且 $b_{1}, b_{2}, b_{4}$ 成等比数列，证明： $S_{n k} = n^{2} S_{k} (k, n \in N^{+})$ ；
（2）若 ${b_{n}}$ 是等差数列，证明 $c = 0$ .

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如图，旅客从某旅游区的景点 $A$ 处下山至 $C$ 处有两种路径.一种是从 $A$ 沿直线步行到 $C$ ，另一种从 $A$ 沿索道乘缆车到 $B$ ，然后从 $B$ 沿直线步行到 $C$ .现有甲、乙两位游客从 $A$ 处下山，甲沿 $A C$ 匀速步行，速度为50 $m / m i n$ ，在甲出发2 $m i n$ 后，乙从 $A$ 乘缆车到 $B$ ，在 $B$ 处停留1 $m i n$ 后，再从 $B$ 匀速步行到 $C$ . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 $m / m i n$ ，山路 $A C$ 长1260 $m$ ，经测量， $\cos A = \frac{12}{13}, \cos C = \frac{3}{5}$ .

（1）求索道 $A B$ 的长；
（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在 $C$ 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

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如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ，直线 $l : y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为1，圆心在 $l$ 上.

（1）若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程；
（2）若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

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如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A B ⊥$ 平面 $S B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A S = A B$ . 过点 $A$ 作 $A F ⊥ S B$ ，垂足为 $F$ ，点 $E$ ， $G$ 分别为棱 $S A$ ， $S C$ 的中点.

求证：（1）平面 $E F G ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2） $B C ⊥ S A$ .

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