如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=AB，
（1）求证：△ABE≌△ADF.
（2）阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换.

图① 图② 图③ 图④
请回答下列问题：
（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？
（2）指出图①中线段BE与DF之间的关系.

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$A ， B$ 两个水管同时开始向一个空容器内注水.如图是 $A ， B$ 两个水管各自的注水量 $y (m^{3})$ 与注水时间 $x (h)$ 之间的函数图象，已知 $B$ 水管的注水速度是 $1 m^{3} / h$ ， $1$ 小时后， $A$ 水管的注水量随时间的变化是一段抛物线，其顶点是 $(1 ， 2)$ ，且注水 $9$ 小时，容器刚好注满.请根据图象所提供的信息解答下列问题:

（1）直接写出 $A ， B$ 注水量 $y (m^{3})$ 与注水时间 $x (h)$ 之间的函数解解析式，并注明自变量的取值范围；

$y_{B} =$ __________（）， $y_{A} \{\begin{matrix} __________ \\ __________ \end{matrix}$

（2）求容器的容量；

（3）根据图象，通过计算回答，当 $y_{A} > y_{B}$ 时，直接写出 $x$ 的取值范围.

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（2）如图②，当点 $C^{'}$ 落在 $AB$ 的延长线上时，连接 $C C^{'}$ 交 $A^{'} B$ 于点 $M$ ，求 $BM$ 的长；

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例如:求点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2 ， B = - 1 ， C = 1$ ，所以点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + （ - 1 ） \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + （ - 1 ）^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .根据以上材料，解答下列问题:

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根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△ ABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A} ， \frac{b}{\sin B} ， \frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程.

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