(本小题满分14分)求至少有一个负实根的充要条件。

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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(本小题满分14分) 求至少有一个负实根的充要条件。

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如图， $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆的上半部分于点P，过点 $F_{2}$ 作直线 $P F_{2}$ 的垂线交直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 于点 $Q$ ；

（I）若点 $Q$ 的坐标为(4,4)；求椭圆 $C$ 的方程；
（II）证明：直线 $P Q$ 与椭圆 $C$ 只有一个交点 $Q$ .

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设 $f (x) = a e^{x} + \frac{1}{a e^{x}} + b (a > 0)$ .

（I）求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值；
（II）设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 的切线方程为 $y = \frac{3}{2} x$ ；求 $a, b$ 的值.

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平面图形 $A B B_{1} A_{1} C_{1} C$ 如图所示，其中 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形， $B C = 2, B B_{1} = 4$ ， $A B = A C = \sqrt{2}$ ， $A_{1} B_{1} = A_{1} C_{1} = \sqrt{5}$ 。现将该平面图形分别沿 $B C$ 和 $B_{1} C_{1}$ 折叠，使 $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 所在平面都与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 垂直，再分别连接 $A A_{1}, B A_{1}, C A_{1}$ ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题

（Ⅰ）证明： $A A_{1} ⊥ B C$ ；
（Ⅱ）求 $A A_{1}$ 的长；
（Ⅲ）求二面角 $A - B C - A_{1}$ 的余弦值.

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某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道类试题和一道类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束。试题库中现共有道试题，其中有道类型试题和道类型试题，以表示两次调题工作完成后，试题库中类试题的数量。
（Ⅰ）求的概率；
（Ⅱ）设，求的分布列和均值（数学期望）。

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设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (2 x + \frac{π}{4}) + s {in}^{2} x$

（I）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（II）设函数 $g (x)$ 对任意 $x \in R$ ，有 $g (x + \frac{π}{2}) = g (x)$ ，且当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时, $g (x) = \frac{1}{2} - f (x)$ ,求函数 $g (x)$ 在 $[- π, 0]$ 上的解析式。

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