一架飞机在海拔8000m的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是,计算这个海岛的宽度.
已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2,直线过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线垂直于点P,线段PF2的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C2的方程;(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.
(本小题满分12分)已知三棱锥P—ABC中,PC⊥底面ABC,,,二面角P-AB-C为,D、F分别为AC、PC的中点,DE⊥AP于E.(Ⅰ)求证:AP⊥平面BDE; (Ⅱ)求平面BEF与平面BAC所成的锐二面角的余弦值.
(本小题满分12分)已知数列、的前n项和分别为、,且满足,.(Ⅰ)求、的值,并证明数列是等比数列;(Ⅱ)试确定实数的值,使数列是等差数列.
(本小题满分12分)在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.(Ⅰ)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率; (Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率;(Ⅲ)该选手在选拔过程中回答过的问题个数记为,求随机变量的分布列和期望.
(本小题满分10分)已知向量,.(Ⅰ)若,求的值; (Ⅱ)设,求的取值范围.