如图，已知直线yx4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．
（1）设点M的横坐标为a，则点C的坐标为，点D的坐标为（用含有a的代数式表示）；
（2）求证：AC=BD；
（3）若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．
①求证： AB=2ME；
②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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如图1，抛物线 $y = a x^{2} - 2 ax - 3 a (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ．与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连接 $AC$ ， $BC$ ．已知 $ΔABC$ 的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $P$ ， $Q$ 两点．过 $P$ ， $Q$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足分别为 $G$ ， $H$ ．若四边形 $PGHQ$ 为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $M$ ，交 $x$ 轴于点 $N$ $(2, 0)$ ．点 $D$ 是抛物线上 $A$ ， $M$ 之间的一动点，且点 $D$ 不与 $A$ ， $M$ 重合，连接 $DB$ 交 $MN$ 于点 $E$ ．连接 $AD$ 并延长交 $MN$ 于点 $F$ ．在点 $D$ 运动过程中， $3 NE + NF$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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一点 $P$ ，满足 $∠ PBD = ∠ DAB$ ．过点 $P$ 作 $PN ⊥ CD$ ，交 $OA$ 的延长线于点 $N$ ，连接 $DN$ 交 $AP$ 于点 $H$ ．

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（1）甲乙两个工程队每天各需工程费多少元？

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①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能？

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（1）求 $a$ ， $b$ 的值．

（2）在反比例 $y_{2} = \frac{4}{x}$ 第三象限的图象上找一点 $P$ ，使点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离最短，求点 $P$ 的坐标．

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垃圾分类知识测试成绩统计表

测试等级	百分比	人数
$A$ ．优秀	$5 %$	20
$B$ ．良好		60
$C$ ．及格	$45 %$	$m$
$D$ ．不及格	$n$

请结合统计表，回答下列问题：

（1）求本次参与调查的学生人数及 $m$ ， $n$ 的值；

（2）如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为5600人，请根据本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；

（3）为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

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