已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）若几何体的体积为，求实数的值；
（2）若，求异面直线与所成角的余弦值；
（3）是否存在实数，使得二面角的平面角是，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

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（本小题满分13分）
已知点
（I）若向量的值；（II）若向量的取值范围。

题型：未知
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（本小题满分12分）已知函数处的切线恰好为轴。（I）求的值；（II）若区间恒为函数的一个单调区间，求实数的最小值；（III）记（其中），的导函数，则函数是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由。

题型：未知
难度：未知

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对于正整数 $n ⩾ 2$ ，用 $T_{n}$ 表示关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的有序数组 $(a, b)$ 的组数，其中 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等）；对于随机选取的 $a, b \in {1, 2, \dots, n}$ （ $a$ 和 $b$ 可以相等），记 $P_{n}$ 为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 a x + b = 0$ 有实数根的概率.
（1）求 $T_{n^{2}}$ 和 $P_{n^{2}}$ ；
（2）求证：对任意正整数 $n ⩾ 2$ ，有 $P_{n} > 1 - \frac{1}{\sqrt{n}}$ 。

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设 $a \geq b > 0$ ，求证： $3 a^{3} + 2 b^{3} \geq 3 a^{2} b + 2 a b^{2}$ .