为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券，甲和乙设计了如下的一个游戏：
口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区别，摸球之前将小球搅匀，摸球的人都蒙上眼睛．先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后，乙再摸，乙只摸一个球．如果甲摸出的两个球都是红色，甲得1分，否则，甲得0分；如果乙摸出的球是白色，乙得1分，否则，乙得0分 ；得分高的获得入场券，如果得分相同，游戏重来．
（1）(4分)运用列表或画树状图求甲得1分的概率；
（2）(3分)这个游戏是否公平？请说明理由．
某数学小组开展测量物体高度的实践活动，他们要测量某建筑物上悬挂的电子显示屏的高度．如图所示，他们先在点 测得电子显示屏底端点 的仰角 ，然后向建筑物的方向前进 到达点 ，又测得电子显示屏顶端点 的仰角 ，测得电子显示屏底端点 的仰角 ．（点 ， ， 在同一条直线上，且与点 ， 在同一平面内，不考虑测角仪高度）
（1）求此时他们离建筑的距离 的长；
（2）求电子显示屏 的高度．
（以上结果用含根号的式子表示）
为提高中小学生的身体素质，各校大力开展校园足球活动，某体育用品商店抓住这一商机，第一次用30000元购进 ， 两种型号的足球，并很快销售完毕，共获利12200元，其进价和售价如下表：
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进价（元 个） |
120 |
200 |
售价（元 个） |
170 |
280 |
（1）该体育用品商店购进 ， 两种型号的足球各多少个？
（2）该体育用品商店第二次准备用不超过40000元的资金再次购进 ， 两种型号的足球共260个，最少购进 种型号的足球多少个？
为进一步发展学生特长，某校要开设编织、摄影、航模、机器人四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对学生选修本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查，一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该学校共有1700名学生据此估计有多少名学生选修航模；
（4）将2名选修摄影的学生和2名选修编织的学生编为一组，从中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法求出2人都选修编织的概率．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （其中 、 为常数， 经过点 和点 ，且与 轴交于点 ，点 为对称轴与直线 的交点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
（3）若点 为点 关于直线 的对称点，点 为直线 上一点，点 为坐标平面内一点，是否存在这样的点 和点 ，使得以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
阅读理解：
问题：我们在研究“等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离和为定值”时，如图①，在 中， ，点 为底边 上的任意一点， 于点 ， 于点 ，求证： 是定值，在这个问题中，我们是如何找到这一定值的呢？
思路：我们可以将底边 上的任意一点 移动到特殊的位置，如图②，将点 移动到底边的端点 处，这样，点 、 都与点 重合，此时， ， ，这样 ．因此，在证明这一命题时，我们可以过点 作 边上的高 （如图③ ，证明 即可．
请利用上述探索定值问题的思路，解决下列问题：
如图④，在正方形 中，一直角三角板的直角顶点 在对角线 上运动，一条直角边始终经过点 ，另一条直角边与射线 相交于点 ，过点 作 ，垂足为 ．
（1）试猜想 与 的数量关系，并加以证明；
（2）当点 在 的延长线上运动时， 与 之间存在怎样的数量关系？请在图⑤中画出图形并直接写出结论；
（3）如图⑥所示，如果将正方形 改为矩形 ， ，其它条件不变，请直接写出 与 的数量关系．
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