（本小题满分16分）已知函数．（1）当时，若函数在上为单调增

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分16分）
已知函数．
（1）当时，若函数在上为单调增函数，求的取值范围；
（2）当且时，求证：函数f (x)存在唯一零点的充要条件是；
（3）设，且，求证：<．

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（1）试求的值，并分别写出和用、表示的关系式；
（2）将(、)作为点的坐标，(、)作为点的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点变到这一平面上的点，
当点在直线上移动时，试求点经该变换后得到的点的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

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请先阅读：
在等式 $\cos 2 x = 2 \cos^{2} x - 1 (x \in R)$ 的两边求导，得： $(\cos 2 x) ` = (2 \cos^{2} x - 1) `$ ，由求导法则，得 $(- \sin 2 x) 2 ` = 4 \cos x (- \sin x)$ ，化简得等式： $\sin 2 x = 2 \cos x \sin x$ .
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 $(1 + x)^{n} = C \begin{matrix} 0 \\ n \end{matrix} + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + . . . + C_{n}^{n} x^{n}$  （ $x \in R$ ，正整数 $n \geq 2$ ），证明： $n [(1 + x)^{n - 1} - 1] = \sum_{k = 2}^{n} k C_{n}^{k} x^{k - 1}$ （2）对于正整数 $n \geq 3$ ，求证：
（i） $\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} k C_{n}^{k} = 0$    (ii) $\sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k} k^{2} C_{n}^{k} = 0$ ； （iii） $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k + 1} C_{n}^{k} = \frac{2^{n - 1} - 1}{n + 1}$

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