如图,已知双曲线和直线y=mx+n交于点A和B,B点的坐标是(2,﹣3),AC垂直y轴于点C,AC=.(1)求双曲线和和直线的解析式.(2)求△AOB的面积.
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y = a x 2 + bx − 4 交 x 轴于 A ( − 1 , 0 ) 、 B ( 4 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C .
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 P 为第四象限内抛物线上一点,连接 PB ,过点 C 作 CQ / / BP 交 x 轴于点 Q ,连接 PQ ,求 ΔPBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线 y = a x 2 + bx − 4 向右平移经过点 ( 1 2 , 0 ) 时,得到新抛物线 y = a 1 x 2 + b 1 x + c 1 ,点 E 在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点 F ,使得以 A 、 P 、 E 、 F 为顶点的四边形为矩形,若存在,请写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
参考:若点 P 1 ( x 1 , y 1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) ,则线段 P 1 P 2 的中点 P 0 的坐标为 ( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 ) .
在矩形 ABCD 中, BC = 3 CD ,点 E 、 F 分别是边 AD 、 BC 上的动点,且 AE = CF ,连接 EF ,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,点 C 落在点 G 处,点 D 落在点 H 处.
(1)如图1,当 EH 与线段 BC 交于点 P 时,求证: PE = PF ;
(2)如图2,当点 P 在线段 CB 的延长线上时, GH 交 AB 于点 M ,求证:点 M 在线段 EF 的垂直平分线上;
(3)当 AB = 5 时,在点 E 由点 A 移动到 AD 中点的过程中,计算出点 G 运动的路线长.
如图,在 ⊙ O 中, AB 是直径,弦 CD ⊥ AB ,垂足为 H , E 为 BC ̂ 上一点, F 为弦 DC 延长线上一点,连接 FE 并延长交直径 AB 的延长线于点 G ,连接 AE 交 CD 于点 P ,若 FE = FP .
(1)求证: FE 是 ⊙ O 的切线;
(2)若 ⊙ O 的半径为8, sin F = 3 5 ,求 BG 的长.
2021年5月,菏泽市某中学对初二学生进行了国家义务教育质量检测,随机抽取了部分参加15米折返跑学生的成绩,学生成绩划分为优秀、良好、合格与不合格四个等级,学校绘制了如下不完整的统计图.根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)请把条形统计图补充完整;
(2)合格等级所占百分比为 % ;不合格等级所对应的扇形圆心角为 度;
(3)从所抽取的优秀等级的学生 A 、 B 、 C … 中,随机选取两人去参加即将举办的学校运动会,请根据列表或画树状图的方法,求出恰好抽到 A 、 B 两位同学的概率.
如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的两边 OC 、 OA 分别在坐标轴上,且 OA = 2 , OC = 4 ,连接 OB .反比例函数 y = k 1 x ( x > 0 ) 的图象经过线段 OB 的中点 D ,并与 AB 、 BC 分别交于点 E 、 F .一次函数 y = k 2 x + b 的图象经过 E 、 F 两点.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式;
(2)点 P 是 x 轴上一动点,当 PE + PF 的值最小时,点 P 的坐标为 .