如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,为与的交点,,是线段的中点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积
如图,在四棱锥 P - A B C D 中,底面 A B C D 是矩形, P A ⊥ 底面 A B C D , E 是 P C 的中点.已知 A B = 2 , A D = 2 2 , P A = 2 .求:
(1)三角形 P C D 的面积; (2)异面直线 B C 与 A E 所成的角的大小.
已知函数 f x = e x - a x ,其中 a > 0 . (1)若对一切 x ∈ R , f x ≥ 1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f x 的图像上去定点 A x 1 , f x 1 , B x 2 , f x 2 x 1 < x 2 ,记直线 A B 的斜率为 k ,证明:存在 x 0 ∈ x 1 , x 2 ,使 f ` x 0 = k 恒成立.
在直角坐标系 x O y 中,已知中心在原点,离心率为 1 2 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C : x 2 + y 2 - 4 x + 2 = 0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 1 2 的直线 l 1 : l 2 .当直线 l 1 : l 2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标.
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为 a n 万元. (Ⅰ)用d表示 a 1 , a 2 ,并写出 a n + 1 与 a n 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m ( m ≥ 3 ) )年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
如图,在四棱锥 P - A B C D 中, P A ⊥ 平面 A B C D ,底面 A B C D 是等腰梯形, A D / / B C , A C ⊥ B D .
(Ⅰ)证明: B D ⊥ P C ; (Ⅱ)若 A D = 4 , B C = 2 ,直线 P D 与平面 P A C 所成的角为30°,求四棱锥 P - A B C D 的体积.