$RM{O}_1{O}_2$如图半径分别为 $m$， $n（0＜m＜n）$的两圆 $\odot O_1$和 $\odot O_2$相交于 $P$， $Q$两点，且点 $P（4，1）$，两圆同时与两坐标轴相切， $\odot O_1$与 $x$轴， $y$轴分别切于点 $M$，点 $N$， $\odot O_2$与x轴， $y$轴分别切于点 $R$，点 $H$．

（1）求两圆的圆心 $O_1$， $O_2$所在直线的解析式；
（2）求两圆的圆心 $O_1$， $O_2$之间的距离 $d$；
（3）令四边形 $P{O}_{1}Q{O}_2$的面积为 $S_1$，四边形RMO₁O₂的面积为 $S_2$．
试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 $\frac{\left|s_1-s_2\right|}{\sqrt{2}d}$的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．