如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC

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如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，

（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．

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如图所示。设函数 $y ＝ x ＋ 4$ 的图象与 $y$ 轴交于 $A$ 点，函数 $y ＝ - 3 x - 6$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $B$ ，两个函数的图象交于点 $C$ ，求通过线段 $AB$ 的中点 $D$ 及 $C$ 点的一次函数解析式．

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在 $2 ， 3$ 两个数之间，第一次写上 $\frac{2 ＋ 3}{1} ＝ 5$ ，第二次在 $2 ， 5$ 之间和 $5 ， 3$ 之间分别写上 $\frac{2 ＋ 5}{2} ＝ \frac{7}{2}$ 和 $\frac{5 ＋ 3}{2} ＝ 4$ ，如下所示：

第 $0$ 次操作： $2$ 　　　　　　　 $3$

第 $1$ 次操作： $2$ 　　　 $5$ 　　　　　 $3$

第 $2$ 次操作： $2$ 　　 $\frac{7}{2}$ 　　 $5$ 　　 $4$ 　 $3$

第 $3$ 次操作：…

第 $k$ 次操作是在上一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 $\frac{1}{k}$ ．

（1）请写出第 $3$ 次操作后所得到的 $9$ 个数，并求出它们的和；

（2）经过 $k$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k}$ ，第 $k ＋ 1$ 次操作后所有数的和记为 $S_{k ＋ 1}$ ，写出 $S_{k ＋ 1}$ 与 $S_{k}$ 之间的关系式；

（3）求 $S_{6}$ 的值．

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点 $A ， B$ 分别在一次函数 $y ＝ x$ 与 $y ＝ 8 x$ 的图象上，其横坐标分别为 $a ， b (a ＞ 0 ， b ＞ 0)$ ，若直线 $AB$ 为一次函数 $y ＝ kx ＋ m$ 的图象，当 $\frac{b}{a}$ 是整数时，求满足条件的整数 $k$ 的值．

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如图，已知直线 $y ＝ - x ＋ 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B$ ，另一直线 $y ＝ kx ＋ b （ k \neq 0 ）$ 经过 $C (1 ， 0)$ ，且把 $△ AOB$ 分成两部分．

（1）若 $△ AOB$ 被分成的两部分面积相等，求 $k$ 和 $b$ 的值；

（2）若 $△ AOB$ 被分成的刑部分的面积比为 $1 ∶ 5$ ，求 $k$ 和 $b$ 的值．

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某造纸厂有甲和乙两个长方体蓄水池，将甲蓄水池中的水以每小时 $6 m^{3}$ 的速度注人乙蓄水池．甲、乙两个蓄水池中水的深度 $y (m)$ 与注水时间 $x (h)$ 的函数关系如图所示．结合图象回答下列问题：

（1）分别求出甲蓄水池和乙蓄水池中水的深度 $y (m)$ 与注水时间 $x (h)$ 之间的函数关系式（不必写出 $x$ 的取值范围）；

（2）求注水多长时间甲蓄水池和乙蓄水池中水的深度相同；

（3）求注水多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．

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