已知：在四边形ABCD中，ACBD，AC与BD交于点O，∠D_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：在四边形ABCD中，AC = BD，AC与BD交于点O，∠DOC = 60°.
当四边形ABCD是平行四边形时（如图1），证明AB + CD = AC；
当四边形ABCD是梯形时（如图2），AB∥CD，线段AB、CD和线段AC之间的数量关系是_____________________________；
如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，结论AB + CD = AC是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.

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先化简，再求值： $1 + \frac{m - n}{m - 2 n} \div \frac{n^{2} - m^{2}}{m^{2} - 4 mn + 4 n^{2}}$ ，其中 $m$ ， $n$ 满足 $\frac{m}{3} = - \frac{n}{2}$ ．

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已知点 $O$ 是线段 $AB$ 的中点，点 $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点，分别过点 $A$ 和点 $B$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为点 $C$ 和点 $D$ ．我们定义垂足与中点之间的距离为"足中距"．

（1） $[$ 猜想验证 $]$ 如图1，当点 $P$ 与点 $O$ 重合时，请你猜想、验证后直接写出"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是　　．

（2） $[$ 探究证明 $]$ 如图2，当点 $P$ 是线段 $AB$ 上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3） $[$ 拓展延伸 $]$ 如图3，①当点 $P$ 是线段 $BA$ 延长线上的任意一点时，"足中距" $OC$ 和 $OD$ 的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

②若 $∠ COD = 60 °$ ，请直接写出线段 $AC$ 、 $BD$ 、 $OC$ 之间的数量关系．

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如图，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $AC$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $ΔAOC ∽ ΔACB$ ；

（3）点 $M (3, 2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $BC$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ x$ 轴交直线 $BC$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $DE$ 的长度最大时，求 $PD + PM$ 的最小值．

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如图所示，直线 $y = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $B$ 的纵坐标为 $- 3$ ，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D (0, - 2)$ ， $OA = \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ AOC = \frac{1}{2}$ ．

（1）求直线 $AB$ 的解析式；

（2）若点 $P$ 是第二象限内反比例函数图象上的一点， $ΔOCP$ 的面积是 $ΔODB$ 的面积的2倍，求点 $P$ 的坐标；

（3）直接写出不等式 $k_{1} x + b ⩽ \frac{k_{2}}{x}$ 的解集．

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