(本小题满分12分) 7名学生按要求排成一排,分别有多少种排法?(1) 甲乙二人不站在两端;(2)甲、乙、丙必须相邻;(3)7名学生中有4男3女,4名男生站在一起,3名女生要站在一起。
如图,已知AB为圆O的直径,BC切圆O于点B,AC交圆O于点P,E为线段BC的中点.求证:OP⊥PE.
设x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3.
设函数f (x)的定义域为M,具有性质P:对任意x∈M,都有f (x)+f (x+2)≤2f (x+1).(1)若M为实数集R,是否存在函数f (x)=ax (a>0且a≠1,x∈R) 具有性质P,并说明理由;(2)若M为自然数集N,并满足对任意x∈M,都有f (x)∈N. 记d(x)=f (x+1)-f (x).(ⅰ) 求证:对任意x∈M,都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0;(ⅱ) 求证:存在整数0≤c≤d(1)及无穷多个正整数n,满足d(n)=c.
设非常数数列{an}满足an+2=,n∈N*,其中常数α,β均为非零实数,且α+β≠0.(1)证明:数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0;(2)已知α=1,β=, a1=1,a2=,求证:数列{| an+1-an-1|} (n∈N*,n≥2)与数列{n+} (n∈N*)中没有相同数值的项.
在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:的上、下顶点分别为A、B,点P在椭圆C上且异于点A、B,直线AP、PB与直线l:y=-2分别交于点M、N.(1)设直线AP、PB的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值;(2)求线段MN长的最小值;(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y (单位:千克)与销售价格 (单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.