在 △ A B C 中,内角 A , B , C 所对的分别是 a , b , c .已知 a = 2 , c = 2 , cos A = - 2 4 . (I)求 sin C 和 b 的值; (II)求 cos ( 2 A + π 3 ) 的值.
某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段,…后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从名学生中随机抽取人,抽到的学生成绩在记分,在记分,在记分,用表示抽取结束后的总记分,求的分布列和数学期望.
已知向量,.向量,, 且. (Ⅰ)求向量; (Ⅱ) 若,,求的值.
(本小题满分13分) 若数列 满足:(1);(2); (3),则称数列为“和谐”数列. (Ⅰ)验证数列,其中,是否为“和谐”数列; (Ⅱ)若数列为“和谐”数列,证明:.
(本小题满分13分) 已知是椭圆C的两个焦点,、为过的直线与椭圆的交点,且的周长为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)判断是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由.
(本小题满分13分)已知,函数,. (Ⅰ)求函数的单调区间和值域; (Ⅱ)设若,总存在,使得成立,求的取值范围.