已知:关于的一元一次方程①的根为正实数,一元二次方程有一实数根若方程①的根为正整数,求整数的值求代数式的值求证:关于的一元二次方程 ②必有两个不相等的实数根。
为庆祝中国共青团成立 100 周年,某校开展四项活动: A 项参观学习, B 项团史宣讲, C 项经典诵读, D 项文学创作,要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动.该校从全体学生中随机抽取部分学生,调查他们参加活动的意向,将收集的数据整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图.
(1)本次调查的样本容量是_____, B 项活动所在扇形的圆心角的大小是_____,条形统计图中 C 项活动的人数是_____;
(2)若该校约有 2000 名学生,请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数.
如图,在四边形 A B C D 中, A D ∥ B C , ∠ B = 80 ° .
(1)求 ∠ B A D 的度数;
(2) A E 平分 ∠ B A D 交 B C 于点 E , ∠ B C D = 50 ° .求证: A E ∥ D C .
解不等式组 x - 2 ≥ - 5 ,① 3 x < x + 2 . ② 请按下列步骤完成解答.
(1)解不等式①,得_____;
(2)解不等式②,得_____;
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;
(4)原不等式组的解集是_____.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = a x 2 + b x ﹣ 3 经过点 B ( 6 , 0 ) 和点 D ( 4 , ﹣ 3 ) ,与 x 轴的另一个交点为 A ,与 y 轴交于点 C ,作直线 A D .
(1)①求抛物线的函数表达式;
②直接写出直线 A D 的函数表达式;
(2)点 E 是直线 A D 下方的抛物线上一点,连接 B E 交 A D 于点 F ,连接 B D , D E , △ B D F 的面积记为 S 1 , △ D E F 的面积记为 S 2 ,当 S 1 = 2 S 2 时,求点 E 的坐标;
(3)点 G 为抛物线的顶点,将抛物线图象中 x 轴下方的部分沿 x 轴向上翻折,与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 C 1 ,点 C 的对应点为 C ′ ,点 G 的对应点为 G ′ ,将曲线 C 1 沿 y 轴向下平移 n 个单位长度 ( 0 < n < 6 ) .曲线 C 1 与直线 B C 的公共点中,选两个公共点记作点 P 和点 Q ,若四边形 C ′ G ′ Q P 是平行四边形,直接写出点 P 的坐标.
【特例感知】
(1)如图1, △ A O B 和 △ C O D 是等腰直角三角形, ∠ A O B = ∠ C O D = 90 ° ,点 C 在 O A 上,点 D 在 B O 的延长线上,连接 A D , B C ,线段 A D 与 B C 的数量关系是______;
【类比迁移】
(2)如图2,将图1中的 △ C O D 绕着点 O 顺时针旋转 α ( 0 ° < α < 90 ° ) ,那么第(1)问的结论是否仍然成立?如果成立,证明你的结论;如果不成立,说明理由.
【方法运用】
(3)如图3,若 A B = 8 ,点 C 是线段 A B 外一动点, A C = 3 3 ,连接 B C .
①若将 C B 绕点 C 逆时针旋转 90 ° 得到 C D ,连接 A D ,则 A D 的最大值是______;
②若以 B C 为斜边作 R t △ B C D ( B , C , D 三点按顺时针排列), ∠ C D B = 90 ° ,连接 A D ,当 ∠ C B D = ∠ D A B = 30 ° 时,直接写出 A D 的值.