已知：关于的一元一次方程①的根为正实数，一元二次方程有一实数

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知：关于的一元一次方程①的根为正实数，一元二次方程有一实数根
若方程①的根为正整数，求整数的值
求代数式的值
求证：关于的一元二次方程 ②必有两个不相等的实数根。

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为庆祝中国共青团成立 $100$ 周年，某校开展四项活动： $A$ 项参观学习， $B$ 项团史宣讲， $C$ 项经典诵读， $D$ 项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）本次调查的样本容量是＿＿＿＿＿， $B$ 项活动所在扇形的圆心角的大小是＿＿＿＿＿，条形统计图中 $C$ 项活动的人数是＿＿＿＿＿；

（2）若该校约有 $2000$ 名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数．

题型：未知
难度：未知

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如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B ＝ 80 °$ ．

（1）求 $∠ B A D$ 的度数；

（2） $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $∠ B C D ＝ 50 °$ ．求证： $A E ∥ D C$ ．

题型：未知
难度：未知

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解不等式组 $\{\begin{matrix} x - 2 \geq - 5 ，① \\ 3 x ＜ x + 2 ． ② \end{matrix}$ 请按下列步骤完成解答．

（1）解不等式①，得＿＿＿＿＿；

（2）解不等式②，得＿＿＿＿＿；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

（4）原不等式组的解集是＿＿＿＿＿．

题型：未知
难度：未知

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如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x ﹣ 3$ 经过点 $B （ 6 ， 0 ）$ 和点 $D （ 4 ， ﹣ 3 ）$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $A D$ ．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线 $A D$ 的函数表达式；

（2）点 $E$ 是直线 $A D$ 下方的抛物线上一点，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $B D ， D E$ ， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} ＝ 2 S_{2}$ 时，求点 $E$ 的坐标；

（3）点 $G$ 为抛物线的顶点，将抛物线图象中 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 $C_{1}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，点 $G$ 的对应点为 $G'$ ，将曲线 $C_{1}$ 沿 $y$ 轴向下平移 $n$ 个单位长度 $（ 0 ＜ n ＜ 6 ）$ ．曲线 $C_{1}$ 与直线 $B C$ 的公共点中，选两个公共点记作点 $P$ 和点 $Q$ ，若四边形 $C' G' Q P$ 是平行四边形，直接写出点 $P$ 的坐标．

题型：未知
难度：未知

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【特例感知】

（1）如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B ＝ ∠ C O D ＝ 90 °$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在 $B O$ 的延长线上，连接 $A D ， B C$ ，线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系是＿＿＿＿＿＿；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° ＜ α ＜ 90 ° ）$ ，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

【方法运用】

（3）如图3，若 $A B ＝ 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C ＝ 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ．

①若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是＿＿＿＿＿＿；

②若以 $B C$ 为斜边作 $R t △ B C D$ （ $B ， C ， D$ 三点按顺时针排列）， $∠ C D B ＝ 90 °$ ，连接 $A D$ ，当 $∠ C B D ＝ ∠ D A B ＝ 30 °$ 时，直接写出 $A D$ 的值．

题型：未知
难度：未知

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