已知函数 $f\left(x\right)$满足满足 $f\left(x\right)=f`\left(1\right)e^{x-1}-f\left(0\right)x+\frac{1}{2}{x}^2$；
（1）求 $f\left(x\right)$的解析式及单调区间；
（2）若 $f\left(x\right)\ge \frac{1}{2}{x}^2+ax+b$，求 $(a+1)b$的最大值.