已知曲线 C : ( 5 - m ) x 2 + ( m - 2 ) y 2 = 8 ( m ∈ R ) . (1)若曲线 C 是焦点在x轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m = 4 ,曲线 C 与 y 轴的交点为 A , B (点 A 位于点 B 的上方),直线 y = k x + 4 与曲线 C 交于不同的两点 M , N ,直线 y = 1 与直线 B M 交于点 G .求证: A , G , N 三点共线.
平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足++=0,证明:△ABC不可能为直角三角形.
已知圆C1:x2+y2-2y=0,圆C2:x2+(y+1)2=4的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且直线PC1,PC2的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹M的方程;(2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C,D,使得|C1C|=|C1D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
(13分)已知圆O:x2+y2=3的半径等于椭圆E:=1(a>b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆O内,且到直线l:y=x-的距离为-,点M是直线l与圆O的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).(1)求椭圆E的方程;(2)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.
已知函数f(x)=ln(x+1)-x2-x.(1)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+ >ln(n+1)都成立.
设函数f(x)=ln x+x2-(a+1)x(a>0,a为常数).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,证明:当x>1时,f(x)< x2--.