去年寒假期间，学校团委要求学生参加一项社会调查活动，八年级学生小青想了解她所在的小区500户居民家庭月人均收入情况，从中随机调查了一定数量的居民家庭的月人均收入（元）情况，并绘制成如下的频数分布直方图（每组含左端点，不含右端点）和扇形统计图．
请你根据以上不完整的频数分布直方图和扇形统计图提供的信息，解答下列问题：这次共调查了多少户居民家庭的人均收入？扇形统计图中的a=，b= ；．
补全频数分布直方图．
如图，二次函数 y＝ ax 2+ bx+ c（ a≠0）的图象交 x轴于 A、 B两点，交 y轴于点 D，点 B的坐标为（3，0），顶点 C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线 BD的解析式；
（2）点 P是直线 BD上的一个动点，过点 P作 x轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P在第一象限时，求线段 PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于 B、 D的点 Q，使△ BDQ中 BD边上的高为2 ？若存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由．
△ OPA和△ OQB分别是以 OP、 OQ为直角边的等腰直角三角形，点 C、 D、 E分别是 OA、 OB、 AB的中点．
（1）当∠ AOB＝90°时如图1，连接 PE、 QE，直接写出 EP与 EQ的大小关系；
（2）将△ OQB绕点 O逆时针方向旋转，当∠ AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．
（3）仍将△ OQB绕点 O旋转，当∠ AOB为钝角时，延长 PC、 QD交于点 G，使△ ABG为等边三角形如图3，求∠ AOB的度数．
如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ ，则
S △ ABC＝ BC× AD＝ × BC× ACsin∠ C＝ absin∠ C，
即 S △ ABC＝ absin∠ C
同理 S △ ABC＝ bcsin∠ A
S △ ABC＝ acsin∠ B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则
a 2＝ b 2+ c 2﹣2 bccos∠ A
b 2＝ a 2+ c 2﹣2 accos∠ B
c 2＝ a 2+ b 2﹣2 abcos∠ C
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S △ DEF和 DE 2．
解： S △ DEF＝ 
EF× DFsin∠ F＝ ；
DE 2＝ EF 2+ DF 2﹣2 EF× DFcos∠ F＝ ．
（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S 1、 S 2、 S 3、 S 4，求证： S 1+ S 2＝ S 3+ S 4．
如图，点 A是直线 AM与⊙ O的交点，点 B在⊙ O上， BD⊥ AM垂足为 D， BD与⊙ O交于点 C， OC平分∠ AOB，∠ B＝60°．
（1）求证： AM是⊙ O的切线；
（2）若 DC＝2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
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