如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD

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如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE

求证：AE是⊙O的切线
若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长。

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已知 $x - y = 2$ ， $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 1$ ，求 $x^{2} y - x y^{2}$ 的值．

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解不等式： $\frac{1 - x}{3} - x < 3 - \frac{x + 2}{4}$ ．

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已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象开口向上，且经过点 $A (0, \frac{3}{2})$ ， $B (2, - \frac{1}{2})$ ．

（1）求 $b$ 的值（用含 $a$ 的代数式表示）；

（2）若二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 在 $1 ⩽ x ⩽ 3$ 时， $y$ 的最大值为1，求 $a$ 的值；

（3）将线段 $AB$ 向右平移2个单位得到线段 $A' B'$ ．若线段 $A' B'$ 与抛物线 $y = a x^{2} + bx + c + 4 a - 1$ 仅有一个交点，求 $a$ 的取值范围．

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在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $D$ 是 $BC$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $AD$ ．

（1）如图1，若 $∠ C = 60 °$ ，点 $D$ 关于直线 $AB$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $AE$ ， $DE$ ，则 $∠ BDE =$ 　　；

（2）若 $∠ C = 60 °$ ，将线段 $AD$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $AE$ ，连结 $BE$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $CD$ 与 $BE$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DE} = k$ ，且 $∠ ADE = ∠ C$ ．试探究 $BE$ 、 $BD$ 、 $AC$ 之间满足的数量关系，并证明．

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如图，已知点 $C$ 是以 $AB$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $AB$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $BD$ 的垂线交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $CD$ ，且 $CD = ED$ ．

（1）求证： $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ DCE = 2$ ， $BD = 1$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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