已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥B

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

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某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有 $A$ ， $B$ 两种客车可供租用， $A$ 型客车每辆载客量45人， $B$ 型客车每辆载客量30人．若租用4辆 $A$ 型客车和3辆 $B$ 型客车共需费用10700元；若租用3辆 $A$ 型客车和4辆 $B$ 型客车共需费用10300元．

（1）求租用 $A$ ， $B$ 两型客车，每辆费用分别是多少元；

（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？

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“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表

组别	成绩 $x$ （分 $)$	人数
$A$	$60 ⩽ x < 70$	10
$B$	$70 ⩽ x < 80$	$m$
$C$	$80 ⩽ x < 90$	16
$D$	$90 ⩽ x ⩽ 100$	4

请观察上面的图表，解答下列问题：

（1）统计表中 $m =$ 　　；统计图中 $n =$ 　　， $D$ 组的圆心角是　　度．

（2） $D$ 组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从 $D$ 组随机抽取2名学生参加 $5 G$ 体验活动，请你画出树状图或用列表法求：

①恰好1名男生和1名女生被抽取参加 $5 G$ 体验活动的概率；

②至少1名女生被抽取参加 $5 G$ 体验活动的概率．

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（1）求该抛物线的表达式；

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（3）已知点 $P$ 是直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 上的动点，点 $Q$ 为抛物线上的动点，当以 $C$ 、 $C_{1}$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点 $P$ 和点 $Q$ 的坐标．

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（1）求证： $FG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

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