如图1，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图1，若四边形ABCD、四边形CFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE.
当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE， AG⊥CH是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M.当AD=4，DG=时，求CH的长。

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如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，点 $D$ 为 $AB$ 的中点，连接 $CD$ ，将线段 $CD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $α (60 ° < α < 120 °)$ 得到线段 $ED$ ，且 $ED$ 交线段 $BC$ 于点 $G$ ， $∠ CDE$ 的平分线 $DM$ 交 $BC$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $α = 90 °$ ，则线段 $ED$ 与 $BD$ 的数量关系是　　， $\frac{GD}{CD} =$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ．

①试判断四边形 $CDEF$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{BE}{FH} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $AC = 2$ ， $\tan (α - 60 °) = m$ ，过点 $C$ 作 $CF / / DE$ 交 $DM$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ， $BE$ ，请直接写出 $\frac{BE}{FH}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

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难度：未知

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（1）求山脚 $A$ 到河岸 $E$ 的距离；

（2）若在此处建桥，试求河宽 $EF$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$

（参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60)$

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组别	睡眠时间分组	频数	频率
$A$	$t < 6$	4	0.08
$B$	$6 ⩽ t < 7$	8	0.16
$C$	$7 ⩽ t < 8$	10	$a$
$D$	$8 ⩽ t < 9$	21	0.42
$E$	$t ⩾ 9$	$b$	0.14

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）扇形统计图中， $C$ 组所在扇形的圆心角的度数是　　 $°$ ；

（3）请估算该校600名八年级学生中睡眠不足7小时的人数；

（4）研究表明，初中生每天睡眠时长低于7小时，会严重影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．

题型：未知
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如图，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 与正比例函数 $y = 2 x$ 的图象交于 $A (1, m)$ ， $B$ 两点．

（1）求该反比例函数的表达式；

（2）若点 $C$ 在 $x$ 轴上，且 $ΔBOC$ 的面积为3，求点 $C$ 的坐标．

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